請教97數學競賽試題

[hugo]

麻煩板上的高手指導，謝謝。
修正
第四題的圖形已附上

[thepiano]

第 1 題
圓直徑為 4
故 BC 只能是 1，2，3

PA^2 = PB * (PB + BC)
PB 必為 1，BC = 3，PA = 2

故題目應修正為 PA、PB、BC 均為整數且都不是合數

第 2 題
x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a
= (x^2 - a)^2 + x - a
= (x^2 - a)^2 + (x^2 - a) + x(1 - x)
= (x^2 - a + x)(x^2 - a + 1 - x)
......

第 4 題
請參考附件

[thepiano]

第 2 題
取 L_1 為 x 軸
L_2 過原點 O 及第一和第三象限
定坐標 A(√5，0)，P(√5，1)，B(t，√3t)
利用 OB^2 + PB^2 = OP^2
可得 t = (√5 + √3)/4
AB = (3/2)√2

[hugo]

謝謝鋼琴老師

[hungsunny30]

第 1 題
圓直徑為 4
故 BC 只能是 1，2，3

PA^2 = PB * (PB + BC)
PB 必為 1，BC = 3，PA = 2

故題目應修正為 PA、PB、BC 均為整數且都不是合數

第 2 題
x^4 - 2ax^2 + x + a^2 - a
= (x^2 - a)^2 + x - a
= (x^2 - a)^2 + (x^2 - a) + x(1 - x)
= (x^2 - a + x)(x^2 - a + 1 - x)
......

第 4 題
請參考附件

請問鋼琴老師第４題，為什麼線段ＯＭ和線段ＤＡ會互相垂直？

[thepiano]

設 ∠OND = ∠PQC 為銳角
又 ∠QPF 為直角
PF 和 QC 必相交，此時 C 不在扇形的弧上
故 OM 和 AD 垂直

[hungsunny30]

設 ∠OND = ∠PQC 為銳角
又 ∠QPF 為直角
PF 和 QC 必相交，此時 C 不在扇形的弧上
故 OM 和 AD 垂直

謝謝鋼琴老師！