101 師大附中

[marsden]

請教一下，填充第一題和第六題如何解呢?

#6
假設O(0,0,0), P(1,2,3),向量OP=(1,2,3)
A(1,-1,1),則向量OA為直線L的方向向量
且設向量OQ=(a,b,c)為"向量OP以直線L為軸，逆時針旋轉120度 "後所得的向量
先求包含P(1,2,3)且垂直直線L的平面E:x-y+z-2=0
依題意知Q(a,b,c)在E上,所以a-b+c-2=0-------------(1)
再求A(1,-1,1)在E上的投影點O'(2/3,-2/3,2/3)
依題意知向量O'P‧O'Q =|O'P| |O'Q| cos120度
整理得a+8b+7c=-19---------------(2)
又|OP|=|OQ| ,可得a^2+b^2+c^2=14--------------(3)
由(1),(2),(3)解得(a,b,c)=(-2,-3,1)或(3,-1,-2)
依題意旋轉後的解為(-2,-3,1)

請問(a,b,c)=(-2,-3,1)或(3,-1,-2)如何判斷出解為(-2,-3,1)

[ellipse]

請教一下，填充第一題和第六題如何解呢?

#6
假設O(0,0,0), P(1,2,3),向量OP=(1,2,3)
A(1,-1,1),則向量OA為直線L的方向向量
且設向量OQ=(a,b,c)為"向量OP以直線L為軸，逆時針旋轉120度 "後所得的向量
先求包含P(1,2,3)且垂直直線L的平面E:x-y+z-2=0
依題意知Q(a,b,c)在E上,所以a-b+c-2=0-------------(1)
再求A(1,-1,1)在E上的投影點O'(2/3,-2/3,2/3)
依題意知向量O'P‧O'Q =|O'P| |O'Q| cos120度
整理得a+8b+7c=-19---------------(2)
又|OP|=|OQ| ,可得a^2+b^2+c^2=14--------------(3)
由(1),(2),(3)解得(a,b,c)=(-2,-3,1)或(3,-1,-2)
依題意旋轉後的解為(-2,-3,1)

請問(a,b,c)=(-2,-3,1)或(3,-1,-2)如何判斷出解為(-2,-3,1)

畫個立體圖再去看
應該不可能是(3,-1,-2)
這個是順時針旋轉120度後的答案

[thepiano]

說明一下填充第 4 題

令直線 L 之斜率為 m，由於對稱，先考慮 m ＞ 0 即可
易知 (0，3) 在橢圓 x^2/4 + y^2/10 = 1 內部

x^2/4 - y^2/10 = 1 之斜率大於 0 的漸近線是 y = (√10/2)x
若 m ＜ √10/2，則在第一象限，L 和 x^2/4 - y^2/10 = 1 (y ≧ 0) 會有 1 個交點，和 x^2/4 + y^2/10 = 1 (y ≧ 0) 亦有 1 個交點

x^2/4 + y^2/10 = 1 和 x^2/4 - y^2/10 = 1 切於 (-2，0) 和 (2，0)
若 L 為 (-2，0) 和 (0，3) 之連線，此時 m = 3/2 ＜ √10/2，此時 L 和 C 比上述多了 (-2，0) 這個交點，共有 3 個交點
若 m ＜ 3/2，L 和 C 會有 4 個交點

故 3/2 ＜ m ＜ √10/2 及 -3/2 ＜ m ＜ -√10/2

[peter0210]

想請教piano老師

填充3，您的做法中有一句話"(2)式中x和y互換"

小弟有兩個疑問：
(1)這樣子是否會變成不是積在老師你所標示出黃色三角形的區域？
(2)如果上述問題答案是肯定的，那麼這樣互換是根據甚麼呢？

再麻煩老師 謝謝

[thepiano]

互換後，變成在積白色三角形，而它與黃色三角形面積相同