方程式(1-x)^(1/2)=2x^2-1+2x(1-x^2)^(1/2)的解x=__________。ans:sin(36度)
不知如何下手？
99高中數學學科能力競賽
版主: thepiano
Re: 99高中數學學科能力競賽
硬做，把二個根號移到等號左邊
兩次平方後整理可得
64x^6 - 128x^4 + 80x^2 - 15 = 0
(4x^2 - 3)(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0
x = ±(√3)/2 or ±[√(10 + 2√5)]/4 or ±[√(10 - 2√5)]/4
以上 6 個，只有前 2 個比較容易檢查出是增根
最後答案是 x = [√(10 - 2√5)]/4 = sin36度
官方給的第一種解答是 x = [√(10 + 2√5)]/4，有誤
這題應該有某種簡易的算法，只是小弟找不到 ...
兩次平方後整理可得
64x^6 - 128x^4 + 80x^2 - 15 = 0
(4x^2 - 3)(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0
x = ±(√3)/2 or ±[√(10 + 2√5)]/4 or ±[√(10 - 2√5)]/4
以上 6 個，只有前 2 個比較容易檢查出是增根
最後答案是 x = [√(10 - 2√5)]/4 = sin36度
官方給的第一種解答是 x = [√(10 + 2√5)]/4，有誤
這題應該有某種簡易的算法，只是小弟找不到 ...
Re: 99高中數學學科能力競賽
(4x^2 - 3)(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0
(4x^3 - 3x)(16x^5 - 20x^3 + 5x) = 0
令 x = cosθ
cos3θ * cos5θ = 0
cos3θ = 0 or cos5θ = 0
不過接下來也不容易判斷，出題者應是要我們從三角函數去思考
(4x^3 - 3x)(16x^5 - 20x^3 + 5x) = 0
令 x = cosθ
cos3θ * cos5θ = 0
cos3θ = 0 or cos5θ = 0
不過接下來也不容易判斷，出題者應是要我們從三角函數去思考