101北一女中

[marsden]

長方體長、寬、高依序為x,y,z.
x+y+z=6
xy+yz+zx=9
求體積之最大值？
題目有一個解法要除錯，還須寫一個另解？不知誰會解這題？

[thepiano]

x + y = 6 - z
xy = 9 - z(x + y) = 9 - z(6 - z) = z^2 - 6z + 9
xyz = z^3 - 6z^2 + 9z
......

[marsden]

x + y = 6 - z
xy = 9 - z(x + y) = 9 - z(6 - z) = z^2 - 6z + 9
xyz = z^3 - 6z^2 + 9z
......

你寫出了他的除錯的部分，接下來用微積分如何完整回答？及另解？

[thepiano]

f(z) = z^3 - 6z^2 + 9z
讓 f'(z) = 0
可知 z = 1 時，f(z) 有極大值 4，此時 x = 4，y = 1 或 x = 1，y = 4
z = 3 時，f(z) 有極小值 0
z ＞ 3，f(z) 遞增


y = 6 - x - z
(6 - x - z)(x + z) + zx = 9
x^2 + (z - 6)x + (z^2 - 6z + 9) = 0
利用判別式可知 0 ＜ z ≦ 4
z ≦ 4，f(z) ≦ 4
若 z = 4，x = y = 1

故體積最大值為 4

[marsden]

謝謝你！

[witz]

請問填充第一題
xcot(x/2)=2
求lim_{ n->無限大} x(n)-x=?

題目記的不完整,抱歉!

[thepiano]

第 1 題
易知 x 不為 0
cot(x/2) = 2/x

y = cot(x/2) 的週期是 2π
y = 2/x，當 x → ∞，y → 0，y = 0 為其水平漸近線

故所求為 2π

附上官方公布的五題填充及答案

[thepiano]

第 4 題
44^2 ＜ 2012 ＜ 45^2 = 2025

若所造之數列為 0，1，2，3，...，n - 2，n - 1，n，n - 1，n - 2，...，3，2，1，0
這樣共 (2n + 1) 項，總和為 n^2

故 n 取 45，所求之項數最小值為 91

2025 - 2012 = 13
把
0，1，2，3，...，38，(39，40，41，42，43，44，45，44，43，42，41，40，39)，38，...，3，2，1，0
變成
0，1，2，3，...，38，(38，39，40，41，42，43，44，43，42，41，40，39，38)，38，...，3，2，1，0
即可

[thepiano]

第 3 題
邊長 2 正方形：1 個
邊長 1 正方形：4 個
邊長 √2 菱形：1 個
長 2 寬 1 長方形：4 個
邊長 √2、√2、2 等腰三角形：4 個
邊長 √2、√5、√5 等腰三角形：4 個
邊長 2、√5、√5 等腰三角形：4 個
邊長 1、√2、√5 鈍角三角形：12 個

[witz]

所謂[不同的圓]
可以只有指大小不同，位置不拘嗎??
還是連位置都要不同??