101 竹山高中

[thepiano]

請參考附件

計算第 2 題
若不扣掉完全平方數，則第 n 個數是 n
但小於等於 n 的完全平方數有 [√n] 個 ([]為高斯記號)
所以 f(n) = n + [√n]
不過 n 到 f(n) 可能包含另一個完全平方數，這時 f(n) = n + [√n] + 1

設 f(n) = n + k
k^2 ＜ f(n) ＜ (k + 1)^2
k^2 ＜ n + k ＜ (k + 1)^2
k^2 - k ＜ n ＜ k^2 + k + 1
k^2 - k + 1 ≦ n ≦ k^2 + k
(k - 1/2)^2 ＜ n ＜ (k + 1/2)^2
k - 1/2 ＜ √n ＜ k + 1/2
√n - 1/2 ＜ k ＜ √n + 1/2
k 為最靠近 √n 之整數

故 f(n) = n + {√n}

[marsden]

填充1、2、4(微分可做，是否有幾何意義？)、9可否給提示？
填充2mathpro已解，與南港22題同

[thepiano]

第 4 題
viewtopic.php?f=53&t=2811


第 9 題
http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/100/1000623.pdf

[thepiano]

第 1 題
a^2 - 4a = a(a - 4) 為有理數
為應用平方差公式，可設 a = x√y + 2，a - 4 = x√y - 2 (x 和 y 是不為 0 的實數，y ＞ 0)

(x√y + 2)^3 - (x√y + 2)^2 - 13(x√y + 2) + 6
= (x^3y - 5x)√y + (5x^2y - 16) 為有理數

x^3y - 5x = 0
x(x^2y - 5) = 0
x^2y = 5
x√y = √5 or -√5(不合，因 a ＞ 0)

a = 2 + √5
q = 5 - 2^2 = 1
p = 5 * 5 - 16 = 9

[marsden]

謝謝，可設 a = x√y + 2這一式很難理解！

[ellipse]

#1這題好像是考古題
幾年前有做過
提供另一個想法
p=a^3-a^2-13a+6=(a^2-4a)*(a+3)+(-a+6)
因為q=a^2-4a為有理數,p為無理數,a為正無理數
所以q必為1(why?請想一下)
所以a^2-4a=1 ,解得a=2+5^0.5 (2-5^0.5不合)
p=a+3+(-a+6)=9
所求(p,q,a)=(9,1,2+5^0.5)

[marsden]

#1這題好像是考古題
幾年前有做過
提供另一個想法
p=a^3-a^2-13a+6=(a^2-4a)*(a+3)+(-a+6)
因為q=a^2-4a為有理數,p為無理數,a為正無理數
所以q必為1(why?請想一下)
所以a^2-4a=1 ,解得a=2+5^0.5 (2-5^0.5不合)
p=a+3+(-a+6)=9
所求(p,q,a)=(9,1,2+5^0.5)

謝謝！很快的方法！q=1是為了讓a消掉！

[thepiano]

可設 a = x√y + 2 這一式很難理解！

本來應該設 a = x√y + z，a - 4 = x√y + z - 4
由於要用到平方差公式才有機會讓 √ 消失變為有理數
故 z 和 z - 4 互為相反數
z = -(z - 4)
z = 2

[ellipse]

謝謝！很快的方法！q=1是為了讓a消掉！

其實我的作法有點偷懶
要驗證的東西還很多

鋼琴老師的作法比較踏實~

[thepiano]

第 6 題
∠ABP = ∠ACP
圓 O 和圓 O' 是等圓
作 O'N 垂直 AC 於 N

OAO'P 是菱形
OP 和 AO' 平行
又 OM 和 AC 平行
∠MOP = ∠NAO'
OM = (1/2)AC = AN
OP = AO'
△MOP 和 △NAO' 全等

PM = O'N = √(5^2 - 3^2) = 4