101桃園國中

[thepiano]

第 11 題
(A)
64 ≡ -1 (mod 13)
64^625 + 1 ≡ (-1)^625 + 1 ≡ 0 (mod 13)

(B)
費馬小定理
2^12 ≡ 1 (mod 13)
2^1000 - 3 = (2^12)^83 * 2^4 - 3 ≡ 0 (mod 13)

(C)
67 ≡ 2 (mod 13)
67^33 + 5 ≡ 2^33 + 5 = (2^12)^2 * 2^9 + 5 ≡ 517 ≡ 10 (mod 13)

(D)
費馬小定理
18^12 ≡ 1 (mod 13)
18^50 + 1 = (18^12)^4 * 18^2 + 1 ≡ 325 ≡ 0 (mod 13)


第 15 題
基本題
所求 = π∫[sin(x)]^2dx (從 0 積到 π) = π^2/2

[mingchun]

[quote="thepiano"]第 11 題
(B)
費馬小定理
2^12 ≡ 1 (mod 13)
2^1000 - 3 = (2^12)^83 * 2^4 - 3 ≡ 0 (mod 13)
(D)
費馬小定理
18^12 ≡ 1 (mod 13)
18^50 + 1 = (18^12)^4 * 18^2 + 1 ≡ 325 ≡ 0 (mod 13)

原來(B)、(D)要利用到費馬小定理，害我在考試期間，為了檢驗這兩個選項花了好多時間在計算！

另外我想請問一下21題該如如何解？？
對於這類問題，總是卡很久...謝謝回覆了...

[thepiano]

21題該如何解？

通常就是硬解，本討論串第 2 頁有答案

[ahieo123]

21題該如何解？

通常就是硬解，本討論串第 2 頁有答案

這一題不用硬解，
可用巴斯卡三角形，
多寫幾個去觀察......
1、2、1
1、3、3、1
1、4、6、4、1
1、5、10、10、5、1
1、6、15、20、15、6、1
1、7、21、35、（35、21、7）、1------->刮起來的那三個數比＝5：3：1
所以m=7

[Superconan]

第 11 題
原來(B)、(D)要利用到費馬小定理，害我在考試期間，為了檢驗這兩個選項花了好多時間在計算！

也不一定要用費馬小定理
(B) 因為 2^6 = 64 ≡ -1 (mod 13) ，所以 2^1000 - 3 = (2^6)^166 * 2^4 - 3 ≡ (-1)^166 * 2^4 - 3 = 13 ≡ 0 (mod 13)
(D) 因為 5^2 = 25 ≡ -1 (mod 13) ，所以 18^50 + 1 ≡ 5^50 + 1 = (5^2)^25 +1 = (-1)^25 +1 ≡ 0 (mod 13)

[Superconan]

1. 四次方和有公式 但這題不妨看規律 前十個1,6,1,6,5,6,1,6,1,0 總和個位數是3
1985有198組 所以前1980項的和個位數是4 再加 1,6,1,6,5 所以答案是3。

前1980項的和個位數，我是算 3*1980 ≡ 0 (mod 10)，請問哪裡錯了？

16另解
p+q+r=10
H(3,10-1-2-2)-1(p=6)
=H(3,5)-1
=C(7,5)-1
=21-1
=20

不是很懂這個算法，可以詳加解釋嗎？謝謝！

這一題不用硬解，
可用巴斯卡三角形，
多寫幾個去觀察......

真棒的解法！

[thepiano]

前1980項的和個位數，我是算 3*1980 ≡ 0 (mod 10)，請問哪裡錯了？

3 * 198 就好

[thepiano]

這一題不用硬解，
可用巴斯卡三角形，
多寫幾個去觀察......
1、2、1
1、3、3、1
1、4、6、4、1
1、5、10、10、5、1
1、6、15、20、15、6、1
1、7、21、35、（35、21、7）、1------->刮起來的那三個數比＝5：3：1
所以m=7

這一題數字較小，的確這樣做才是最佳解法

[ellipse]

[quote="Superconan

16另解
p+q+r=10
H(3,10-1-2-2)-1(p=6)
=H(3,5)-1
=C(7,5)-1
=21-1
=20


不是很懂這個算法，可以詳加解釋嗎？謝謝！

幫忙回答~
(x+x^2+x^3+x^4+x^5)(x^2+x^3+..........+x^10)(x^2+x^3+..........+x^10)
有三個括號,每個括號挑一個,三數相乘後次方要=10
以下表示的是三數的次方
(1,2,7) ,(1,3,6),(1,4,5),(1,5,4),(1,6,3),(1,7,2) 有6個
同理(2,2,6)~(2,6,2)有5個
(3,2,5)~(3,5,2)有4個
(4,2,4)~(4,4,2)有3個
(5,2,3)~(5,3,2)有2個
共6+5+4+3+2=20個
所以x^10的係數=20

[thepiano]

它不是很懂的應是這行
H(3，10 - 1 - 2 - 2) - 1 (p = 6)

p + q + r = 10
1 ≦ p ≦ 5
2 ≦ q，r ≦ 10
求 (p，q，r) 的正整數解有幾組

上題轉化一下才可以用重覆組合來算
令 p' = p - 1，q' = q - 2，r' = r - 2
p' + q' + r' = 10 - 1 - 2 - 2 = 5
0 ≦ p' ≦ 4
0 ≦ q'，r' ≦ 8
求 (p'，q'，r') 的非負整數解有幾組

所求 = H(3，10 - 1 - 2 - 2) - 1 = H(3，5) - 1
減掉的 1 是 p' = 5，q' = r' = 0 這組
此時 p = 6，q = r = 2