解聯立方程組

[armopen]

解聯立方程組

x(x + y + z) = 30 - yz
y(x + y + z) = 35 - xz
z(x + y + z) = 42 - xy

答案： (x,y,z) = (2,3,4) 或 (-2, -3, -4)

目前的想法是將三式相加得到

(x + y + z)^2 = 107 - (xy + yz + xz)

但是接下來如果右邊提出 xyz 也做不出來,
如果用討論的，也就是利用右邊不是負的，
情況又太多，請大家幫幫忙，謝謝~

[thepiano]

x^2 + xy + xz = 30 - yz
x^2 + xy + xz + yz = 30
(x + y)(x + z) = 30

(x + y)(x + z) = 30 = 5 * 6
(x + y)(y + z) = 35 = 5 * 7
(y + z)(x + z) = 42 = 6 * 7

x + y，x + z，y + z 三者同正或同負

(x + y)(x + z)(y + z) = 5 * 6 * 7 or (-5) * (-6) * (-7)
......

[armopen]

原來就是乘開，再因式分解，
謝謝 thepiano 老師的幫忙

[aster]

請問為什麼x,y,z一定是整數?
可以說明一下嗎? 謝謝

[thepiano]

(x + y)(x + z) = 30 = 5 * 6 ...... (1)
(x + y)(y + z) = 35 = 5 * 7 ...... (2)
(y + z)(x + z) = 42 = 6 * 7 ...... (3)

三式相乘 [(x + y)(y + z)(x + z)]^2 = (5 * 6 * 7)^2

(x + y)(y + z)(x + z) = 5 * 6 * 7 ...... (4)
負的就不寫了

(4)/(1)，(4)/(2)，(4)/(3)
y + z = 7
x + z = 6
x + y = 5
......

[aster]

謝謝^^