100 南一中 月考試題

[armopen]

設 a 是不為 0 之實數, 圓 x^2 + y^2 - 2ax - 4ay + (9/2)a^2 = 0
恆與某直線相切，則此切線的方程式為何？

答： y = x 或 y = 7x

[thepiano]

(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = [(√2/2)a]^2
此類的圓之圓心為 (a，2a)，半徑為 (√2/2)a
圓心到原點之距離為 √5a，該圓之切線到原點之距離為 (3√2/2)a
不管 a 為異於 0 的任何實數，由直角三角形之相似關係，可知該切線必過原點，且有二條

設切線為 y = mx 代入原方程式，利用判別式為 0，可求出 m

另外提醒，這並非教甄試題，標題請寫清楚，以免混淆，謝謝您的配合

[armopen]

(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = [(√2/2)a]^2
此類的圓之圓心為 (a，2a)，半徑為 (√2/2)a
圓心到原點之距離為 √5a，該圓之切線到原點之距離為 (3√2/2)a
不管 a 為異於 0 的任何實數，由直角三角形之相似關係，可知該切線必過原點，且有二條

設切線為 y = mx 代入原方程式，利用判別式為 0，可求出 m

另外提醒，這並非教甄試題，標題請寫清楚，以免混淆，謝謝您的配合

對於標題的部分已作了修正 (感謝提醒，以免日後造成標題混亂).
想請問 thepiano 老師提到的直角三角形是哪兩個直角三角形相似呢？
(我猜測是由直角的那個頂點往斜邊作垂線得到的相似三角形)
而且為何相似就可以保證通過切線原點？ 謝謝.

[thepiano]

(x - a)^2 + (y - 2a)^2 = [(√2/2)a]^2
分別令 a = 1、2、3，把三個圓畫出來

三個圓心 O_1、O_2、O_3 都在直線 y = 2x 上，把直線 y = 2x 畫出來
畫出此三圓的任一公切線，分別連接三個圓心與三個切點
就會形成三個相似的直角三角形