102 中區國小

[thepiano]

請參考附件

第 2 題
此題有問題
若 x 是正整數，那麼 x = 53 ~ 58 都可以

7/15，放上官方公布的標準答案，第 42 題送分，原因是 m + n 有無限多解

[thepiano]

第 42 題
(2987，725) = 29
2987m + 725n = 29
103m + 25n = 1
n = (1 - 103m)/25
先找到一組解 m = -8，n = 33

通解為
m = -8 + 25t
n = [1 - 103(-8 + 25t)]/25 = 33 - 103t
其中 t 為整數

[thepiano]

第 5 題
設去年小一男生 x 人，女生 y 人
今年小一人數 (x + y)(1 + 12.5%) = (9/8)(x + y) 人
其中男生 x * (1 + 20%) = (6/5)x，女生 (27/25)y 人
(6/5)x + (27/25)y = (9/8)(x + y)
240x + 216y = 225x + 225y
15x = 9y
x/y = 3/5


第 6 題
甲：乙 = 4：1
AF：BF = 4：1
AB = 800
AF = 640，BF = 160

(甲 + 乙)：丙 = 5：1
AE：DE = 5：1
AD = 600
AE = 500，DE = 100


第 15 題
|x + 2/3| ≦ 5/3
-5/3 ≦ x + 2/3 ≦ 5/3
-7/3 ≦ x ≦ 1

|y - 5/4| ≦ 1/4
1 ≦ y ≦ 3/2

(1) -7/3 + 1 ≦ x + y ≦ 1 + 3/2
-4/3 ≦ x + y ≦ 5/2

(2) -3/2 ≦ -y ≦ -1
-7/3 ≦ x ≦ 1
-23/6 ≦ x - y ≦ 0

(3) (-7/3)(3/2) ≦ xy ≦ 1 * (3/2)
-7/2 ≦ xy ≦ 3/2

(4) 0 ≦ x^2 ≦ (-7/3)^2 = 49/9
1 ≦ y^2 ≦ 9/4
1 ≦ x^2 + y^2 ≦ 277/36


第 18 & 19 題
請參考附件


第 27 題
看凹進去的地方
發現多出 4 個面(東西多出 1 個面、南北多出 2 個面、上下多出 1 個面)
多出 12 個邊 (東西、南北、上下各多出 4 個邊)

[juice]

謝謝鋼琴老師的解題！

[love2005624522]

不會的題目有點多，請各位老師解題，謝謝!!!

1、8、10、12、17、22、25

另16題 我想問，我哪裡算錯了?謝謝
(x-3)(x+2)<0
x^2-x-6<0得知 a=1 b=-1 c=-6

-6x^2-5x-1>0
6x^2+5x=1<0
(2x-1)(3x-1)<0
1/3<x<1/2

[thepiano]

第 1 題
d_n = 1/n - 1/(n + 1)
所求 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/12 - 1/13 = 1 - 1/13 = 12/13

第 8 題
易知 AE = 7
令 AB = x，BE = y，CE = 25 - y
x^2 + y^2 = 7^2 ... (1)
x^2 + (25 - y)^2 = 24^2 ... (2)
(1) - (2)
y = 49/25
x = √[7^2 - (49/25)^2] = 168/25
...

第 10 題
√x ＞ 0
1/√x ＞ 0
√x + 1/√x ＞ 0，選項 (1) 錯誤

(√x - 1/√x)^2 = x - 2 + 1/x = 3
√x - 1/√x = ±√3，選項 (2) 錯誤

(x - 1/x)^2 = (x + 1/x)^2 - 4 = 21
x - 1/x = ±√21，選項 (3) 錯誤

x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = 23

第 12 題
2a^2 + b^2 + c^2 - 96a - 14b - 50c + 1826 = 0
2(a - 24)^2 + (b - 7)^2 + (c - 25)^2 = 0
a = 24，b = 7，c = 25
...

第 16 題
(x - 3)(x + 2) ＜ 0
x^2 - x - 6 ＜ 0
-x^2 + x + 6 ＞ 0
a = -1，b = 1，c = 6
......

第 17 題
21600 = 6^3 * 10^2 = (2 * 3)^3 * (2 * 5)^2 = 2^5 * 3^3 * 5^2 = 2 * 3 * (2^2 * 3 * 5)^2
m = (5 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 72
n = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12

第 22 題
y_1 = 4/2 = 2
y_2 = 3/1 = 3
y_3 = 4/2 = 2
故
k 為奇數，y_k = 2
k 為偶數，y_k = 3
...

第 25 題
1/x - 1/(x + 1) + 1/(x + 1) - 1/(x + 2) + 1/(x + 2) - 1/(x + 3) = 3/4
1/x - 1/(x + 3) = 3/4
...

[thepiano]

第 8 題計算複雜，但由於是選擇題，可以這樣做
易知 AE = 7
令 AB = x，BE = y，CE = 25 - y
x^2 + y^2 = 7^2 ... (1)
x^2 + (25 - y)^2 = 24^2 ... (2)
(1) - (2)
y = 49/25，大約是 2

x ≒ √(7^2 - 2^2) = 3√5

所求 ≒ 2(25 + 3√5) = 50 + 6√5 ≒ 50 + 6 * 2.23，然後選 (2)

[love2005624522]

謝謝鋼琴老師，還提供選擇作法呢!!!
感激不盡!!!

[love2005624522]

不好意思，可以再問以下幾題嗎?題目有點多，實在是不好意思!
32、33、34、37、38、39、40、44、46、48、50

以下幾題，我有解一些，但某些思維卡住了，想請問是哪個部分有問題?
30： 我算出一個內角為108度，接下來要如何解呢?

35：我的算式是(80*6+70*3+82*2)/(6+3+2)，這個算式對嗎?
有沒有其他更快的算法呢?

36：我設甲、乙、丙為三種未知道，但已知二個算式，要如何算出答案呢?


可以問以上這些題目嗎?謝謝版上各位高手!!!

[thepiano]

第 30 題
見附件圖
∠1 = (180 - 108)/2 = 36 度
同理 ∠2 = 36 度
∠A = ∠1 + ∠2

第 32 題
同時間甲跑 100M，乙跑 90M
甲速：乙速 = 100：90

同時間乙跑 100M，丙跑 90M
乙速：丙速 = 100：90 = 10：9 = 90：81

甲速：乙速：丙速 = 100：90：81
故所求 = 100 - 81 = 19

第 33 題
設男 x 人，女 y 人

從每一個男人眼中看去（不含自己），女人比男人少 1 人
y = x - 1 - 1

從每一個女人眼中看去（不含自己），男人比女人多一倍
x = 2(y - 1)

解 x，y

第 34 題
展開後扇形的半徑 = 圓錐頂點到底面圓周任一點的長 = √[5^2 + (5√3)^2] = 10
展開後扇形的弧長 = 底面的圓周長 = 10π
展開後扇形的圓心角 = 2π * [10π/(10 * 2 * π)] = π
所求 = 10 * 10 * π * (1/2) = 50π

第 35 題
只有您的算式那種算法

第 36 題
由於有三個未知數，但只能列出兩個方程式，故有無限多解

先隨意找個關係
甲 1 件 + 乙 3 件的價錢 = 8400 - 6300 = 2100
再隨意設甲 1 件 600 元，則乙 1 件 500 元
丙一件 = 8400 - 600 * 4 - 500 * 10 = 1000 元

選擇題這樣做就可以了

第 37 題
見圖
OA = 20，OC = 10，AC = 10√3
所求 = AB = 2AC = 20√3

第 38 題
甲 500，乙 x
第一次操作後：甲 200，乙 x + 300
第二次操作後：甲 200 + (1/3)(x + 300)，乙 (2/3)(x + 300)
200 + (1/3)(x + 300) = (2/3)(x + 300)
解 x

第 39 題
令 y = x - 1
x = y + 1

x^2 - 2x = (y + 1)^2 - 2(y + 1) = y^2 - 1

先求 (y^2 - 1)^10 除以 y^3 的餘式
用二項式定理展開 (y^2 - 1)^10 = ...... - C(10，9) * y^2 + 1

(y^2 - 1)^10 除以 y^3 的餘式 = -10y^2 + 1
... 的部份都是 y^3 的倍式

-10y^2 + 1 = -10(x - 1)^2 + 1 = -10x^2 + 20x - 9

第 40 題
4320 = 6 * 720
所求即 720 的正因數個數

第 44 題
通過 (3，2)
2 = 3^2 + 6a + b
b = -6a - 7

y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 + b - a^2
故頂點為 (-a，b - a^2) 在 y = x - 1 上
故 b - a^2 = -a - 1

-6a - 7 - a^2 = -a - 1
a = -2 or -3
b = 5 or 11

第 46 題
不用真的去求
把 x = 3√2，y = 2 代入選項的四條直線方程式就知道答案是 (1) 了

若代進去有 2 條以上符合呢？那就畫圖觀察

第 48 題
有最大值，表示 a ＜ 0
又 c = -b/(2a) ＜ 0，b ＜ 0

第 50 題
同第 36 題的做法
設 z = 2，y = 1 - 1/2 = 1/2
x + 1/y = x + 2 = 1
x = -1
xyz + 3 = -1 + 3 = 2