一些問題~~如附件
麻煩大大指導
謝謝
幾題問題
版主: thepiano
Re: 幾題問題
第 1 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=21361
第 2 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=18135
第 3 題
即是求 (2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003 除以 9 之餘數
(2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003
= 2[C(2003，0) * 2^2003 + C(2003，2) * 2^2001 * 3 + ......] [...... 都是 9 之倍數]
= 2^2004 + 2003 * 2002 * 2^2001 * 3 + ......
= 8^668 + 5 * 4 * 8^667 * 3 (mod 9)
≡ (-1)^668 + 5 * 4 * (-1)^667 * 3 (mod 9)
≡ 4 (mod 9)
第 4 題
原式 = (1/4)(-1/2 - 1/2 + 1 - 1/2 - 1/2 + 1 - ......)
此級數發散
第 5 題
C(200，100) = 200! / (100! * 100!) = (200 * 199 * ...... * 101) / (100 * 99 * ...... * 1)
由於要找其最大的二位數質因數
故從 97，89，83，79，73，71，67，........一路找下去
200 * 199 * ...... * 101 對於上述的質因數都只有 1 個
61 * 2 = 122
61 * 3 = 183
故所求為 61
第 6 題
不等式之左式，分子和分母同除以 x^n
分母變成 1/x^n + 1/x^(n - 1) + ...... + 1 + ...... + x^(n - 1) + x^n
然後頭尾用算幾不等式就證完了
第 7 題
設直線 AB 交圓 O 於 A 和 D 兩點，直線 BC 交圓 O 於 C 和 E 兩點
作 OF 垂直 AB 於 F
令 BD = 2x，則 BE = 6x
AF = (6 + 2x)/2 = x + 3
OF = (2 + 6x)/2 - 2 = 3x - 1
(x + 3)^2 + (3x - 1)^2 = 50
x = 2
BF = 1，OF = 5，OB = √26
第 8 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801
第 9 題
1800 = 2^3 * 3^2 * 5^2
以下只討論因數 2
a 必有 2^0 此因數，另可能含有 2^1， 2^2， 2^3 這些因數，同理 b 和 c 也是
故數對 (a，b，c) 關於因數 2 的組合情形有 4^3 種
但 a，b，c 三者中，最少要有 1 個須含 2^3 這個因數
而 a，b，c 均不含因數 2^3 的情形有 3^3 種
故所求 = (4^3 - 3^3)(3^3 - 2^3)(3^3 - 2^3) = 13357
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=21361
第 2 題
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第 3 題
即是求 (2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003 除以 9 之餘數
(2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003
= 2[C(2003，0) * 2^2003 + C(2003，2) * 2^2001 * 3 + ......] [...... 都是 9 之倍數]
= 2^2004 + 2003 * 2002 * 2^2001 * 3 + ......
= 8^668 + 5 * 4 * 8^667 * 3 (mod 9)
≡ (-1)^668 + 5 * 4 * (-1)^667 * 3 (mod 9)
≡ 4 (mod 9)
第 4 題
原式 = (1/4)(-1/2 - 1/2 + 1 - 1/2 - 1/2 + 1 - ......)
此級數發散
第 5 題
C(200，100) = 200! / (100! * 100!) = (200 * 199 * ...... * 101) / (100 * 99 * ...... * 1)
由於要找其最大的二位數質因數
故從 97，89，83，79，73，71，67，........一路找下去
200 * 199 * ...... * 101 對於上述的質因數都只有 1 個
61 * 2 = 122
61 * 3 = 183
故所求為 61
第 6 題
不等式之左式，分子和分母同除以 x^n
分母變成 1/x^n + 1/x^(n - 1) + ...... + 1 + ...... + x^(n - 1) + x^n
然後頭尾用算幾不等式就證完了
第 7 題
設直線 AB 交圓 O 於 A 和 D 兩點，直線 BC 交圓 O 於 C 和 E 兩點
作 OF 垂直 AB 於 F
令 BD = 2x，則 BE = 6x
AF = (6 + 2x)/2 = x + 3
OF = (2 + 6x)/2 - 2 = 3x - 1
(x + 3)^2 + (3x - 1)^2 = 50
x = 2
BF = 1，OF = 5，OB = √26
第 8 題
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第 9 題
1800 = 2^3 * 3^2 * 5^2
以下只討論因數 2
a 必有 2^0 此因數，另可能含有 2^1， 2^2， 2^3 這些因數，同理 b 和 c 也是
故數對 (a，b，c) 關於因數 2 的組合情形有 4^3 種
但 a，b，c 三者中，最少要有 1 個須含 2^3 這個因數
而 a，b，c 均不含因數 2^3 的情形有 3^3 種
故所求 = (4^3 - 3^3)(3^3 - 2^3)(3^3 - 2^3) = 13357