99中正預校

[cauchyslin]

請問各位高手 99中正預校 第二大題的第一題

該如何解呢?

謝謝各位的指教!!

[thepiano]

x ＞ 0，y ＞ 0
x^3 + y^3/3 + 1/9 = xy

x^3 + y^3/3 + 1/9 ≧ 3(x^3 * y^3/3 * 1/9)^(1/3) = xy

等號成立於 x^3 = y^3/3 = 1/9

[cauchyslin]

謝謝 鋼琴老師 !!

[8y383249]

我想請問證明的第1和3題,另外,第2題我以證出cos4x,可是,正弦我只證得如下:sin4x=4cos^3xsinx-4cosxsin^3x=4sinx(2cos^3x-cosx),再來就不知如何下去了,麻煩各位老師,謝謝

[thepiano]

第 1 題
n = 1 時，成立
n = 2 時，x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 為整數．成立

設 n = k - 1，n = k 時，成立
n = k + 1 時，x^(k + 1) + 1/x^(k + 1) = (x + 1/x)(x^k + 1/x^k) - [x^(k - 1) + 1/x^(k - 1)] 為整數
......


第 2 題
(cosθ + isinθ)^4 = cos4θ + isin4θ
用二項式定理展開後，比較實部與虛部可得
cos4θ = 8(cosθ)^4 - 8(cosθ)^2 + 1
sin4θ = 4cosθsinθ[1 - 2(sinθ)^2]
sin4θ 中的 cosθ 是一定會有的，也就是 sin4θ 無法全部用 sinθ 來表示


第 3 題
a^2 ≧ a^2 - (b - c)^2 = (a + b - c)(c + a - b) ≧ 0
b^2 ≧ b^2 - (c - a)^2 = (b + c - a)(a + b - c) ≧ 0
c^2 ≧ c^2 - (a - b)^2 = (c + a - b)(b + c - a) ≧ 0
......

[azse0319]

第 3 題
提供另一個作法...
利用算幾不等式......
a = {(a + b - c)+(c + a - b)}/2 ≧ 根號{(a + b - c)(c + a - b)}
b = {(b + c - a)+(a + b - c)}/2 ≧ 根號{(b + c - a)(a + b - c)}
c = {(c + a - b)+(b + c - a)}/2 ≧ 根號{(c + a - b)(b + c - a)}
三式相乘可得abc≧ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)

[jamesbondmartin]

請問老師 填充題 1. 3. 要怎麼做呢?

[thepiano]

第 1 題
作 BE 平行 CP 交 AP 於 E，作 CF 平行 BP 交 DP 於 F
∠PBE = ∠BPC = ∠PCF = 90 度
所求 = (BE/BP) * (CF/CP) = (BE/CP) * (CF/BP) = (AB/AC) * (CD/BD) = (2/5) * (1/4) = 1/10

第 3 題
設直線 AG 交 BC 於 D，易知 DG = 2，BD = CD = 5
令 BG = x，CG = y
x^2 = 5^2 + 2^2 - 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
y^2 = 5^2 + 2^2 + 2 * 5 * 2 * cos∠BDG
x^2 + y^2 = 58

10^2 = x^2 + y^2 - 2xycos∠BGC
xy = 21√2

所求 = 3△BGC = 3 * (1/2) * 21√2 * sin∠BGC = 63/2

[jamesbondmartin]

計算題 3., 我算的結果是 as, 不知是哪算錯，想請問這一題

[ellipse]

計算題 3., 我算的結果是 as, 不知是哪算錯，想請問這一題

記得沒錯的話
這題是87年日大自然組的計算題考題~~