請教幾題奧林匹克數學競賽的題目

[han]

請教幾題數學題目的解法，謝謝。
第1題 答案9
第7題 答案27
第8題 答案 36
第14題 答案838

[thepiano]

第 1 題
x^2 + xy + y^2 = 5
5 - xy = x^2 + y^2 ≧ 2|xy|
xy - 5 ≦ 2xy ≦ 5 - xy
-5 ≦ xy ≦ 5/3

x^2 - xy + y^2 = 5 - 2xy
......


第 7 題
BC 中點 O，直線 PO 和 AD 交於 Q
△PQD 和 △PMO 全等 (AAS)

PO = x，PQ = 20 - x，PM = √(x^2 - 100)
20 - x = √(x^2 - 100)
x = 25/2
剩下的就簡單了 ......


第 8 題
1 個 8：8
2 個 8：88
3 個 8：888
:
:
k 個 8：888.....8

111 = 3 * 37
當 k ≡ 0 (mod 3)，k 個 8 是 37 的倍數
當 k ≡ 1 (mod 3)，k 個 8 除以 37 餘 8
當 k ≡ 2 (mod 3)，k 個 8 除以 37 餘 14

2023 = 674 * 3 + 1
N ≡ 8 * 675 + 14 * 674 (mod 37)
......


第 14 題
n^2 + (n + 1)^2 = m^2
2n^2 + 2n - m^2 = -1
4n^2 + 4n - 2m^2 = -2
(2n + 1)^2 - 2m^2 = -1

a = 2n + 1
b = m
a^2 -2b^2 = -1

a = x + 2y
b = x + y
x^2 - 2y^2 = 1
這是佩爾方程，......

n = 3、20、119、696

[han]

謝謝老師的指導，
第1題關鍵在算不等式，
第7題關鍵在輔助線，
第8題關鍵在規律，
第10題佩爾方程，上網搜尋，無法抓到解題關鍵，
可以請老師再多幾個詳細步驟嗎？
謝謝老師引導式的教學。

[thepiano]

佩爾方程，說來話長，您可參考九章出版的趣味數論 (單墫 著) 這本書的 P120

[han]

謝謝老師給學習的方向，再找資料研究。