100 高雄中學 (14 題中的 3 題)

[thepiano]

題目及參考答案請參考附件

[thepiano]

再加一題
本題出自 AIME 2002 的最後一題
請參考附件

[TeaTea]

有一題1+2+3+...+n=(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^16+1)(3^32+1)
求n的位數,最高位數字,末位數字
末位數字要如何判別
右邊的個位數是0
左邊n的個位數0,4,5都有機會
可以明確的判斷嗎

[thepiano]

n(n + 1) / 2 = (3^64 - 1) / (3^2 - 1)
4n^2 + 4n - (3^64 - 1) = 0
n = (3^32 - 1) / 2

n 為 15 位數，最高位數字 9，個位數字 0


要更嚴謹知道個位數字是 0 而不是 5
可以展開 (10 - 1)^16，它除以 100 之餘數為 41
由於十位數字為偶數，故 n 的個位數字一定是 0

[TeaTea]

感謝 皮大

果然功力高深.....